2.1 簡介
2.2 交流電動機結構與工作原理
2.3 交流電動機的等效電路
2.4 交流電動機的動態數學模式
2.5 交流電動機參數判別項目

2.1 簡介

本章將介紹三相感應電動機穩態與動態的分析方法。交流感應電動機的結構與工作原理、穩態下的等效電路、 以及動態數學模式,將在以後各節逐一詳細說明。

交流感應電動機動態特性非常複雜,主要由於其非線性的動態方程式與變數間的彼此耦合。為了克服此一問題, 自1960年以來,交流感應電動機在不同型式換流器(inverter)驅動下之動態方程式分析技術,不斷地為學術界、 工業界所研究與探討。在本計畫中,廣義電動機原理(generalized machine theory)中的二軸理論(two-axis theory) 將用來建立以向量為主的交流感應電動機動態數學模式。

2.2 交流電動機結構與工作原理

圖2-1所示為一理想化的三相二極鼠籠式交流感應電動機的剖面及轉子結構圖。定子(stator)上各相之線圈均以同心的方式環繞, 各相之電阻與電感亦平均分佈。定子的三相繞線以△形成Y形電路連結,而轉子的三相繞線連結則成短路。 定子由三相交流電源造成一旋轉磁場,經由變壓器作用,在轉子線圈形成感應電流與感應磁場,如此, 定子的旋轉磁場與轉子的感應磁場交互作用而產生扭矩,使得轉子旋轉。

圖 2-1 鼠籠式交流感應電動機結構圖

若將三相均衡(balanced)的交流電壓加在感應電動機的定子線圈上,則可在定子與轉子間的氣隙(air gap)造成一旋轉的磁場。 如將因感應電動機不均繞線、以及非正弦波形電壓、電流所產生之諧波效應忽略不計,則可視此旋轉磁場成一正弦波形分佈。 其轉速定義為同步轉速(synchronous speed),可表示為 ωe

就交流感應電動機而言,經由氣隙磁通量(air gap flux)與轉子磁動勢(rotor magnetomotive force)之交互作用而產生扭矩。 當電動機以同步轉速旋轉時,轉子無法經由感應(induction)或是變壓器效應(transformer effect)而產生扭矩。而在其他轉速時, 同步轉速與轉子轉速的差值,定義為滑差(slip) ωsl,滑差比(slip ratio)則定義為

其中 ωr 即為轉子電氣轉速(rotor electrical speed)。

氣隙磁通量相對於轉子是以滑差頻率旋轉,如此在轉子感應出滑差頻率電壓(slip frequency voltage)。 由於轉子線圈為短路,滑差頻率電壓會產生一相位落後的滑差頻率電流(slip frequency current), 其落後之相位角度定義為轉子功率因數角(rotor power factor angle) θp。 轉子感應電流所造成可用正弦波形近似之磁動勢(MMF)亦以滑差頻率相對於轉子旋轉, 因此轉子磁動勢與氣隙磁通量是以相同之同步角頻率旋轉。由氣隙磁通量與轉子磁動勢之交互作用所產生之扭矩可表示為[4]

其中P為電動機的極數(pole number),L為電動機長度,R為半徑, Bp為氣隙磁通密度之峰值, Fp 為轉子磁動勢之峰值,
δ = π / 2 + θp。或是

其中|Ψm| 為單極氣隙交連磁通量(air gap flux linkage)之峰值, |Ir| 是轉子電流向量的峰值。

2.3 交流電動機的等效電路

分析感應電動機的穩態特性,可以以等效電路做為最好的說明。如圖2-2所示即為一三相交流感應電動機其中一相的等效電路, 感應電動機的等效電路與變應器的等效電路十分相似, 因為基本上感應電動機可視為一具有旋轉次線圖(rotating secondary winding)的變壓器。

圖 2-2 交流感應電動機等效電路之推衍

如變壓器一般,交流感應電動機的定子電流﹙相對於變壓器的主級電流﹚建立起連結至轉子繞線(相對於變壓器的次級線圈) 的交互磁通量(mutual flux),以及祇留在定子線圈的漏磁通量 (leakage flux)。 漏磁通量會隨著定子電流的變化率成等倍感應出主電動勢(primary emf),漏磁通量的效應可以一與定子電阻相串接之定子漏電抗 (leakage reactance) Xsl 表示之。 Rs 則為 每一相定子繞線的電阻。考慮定子電阻、漏電抗及其相位, Rs + j Xsl 定義為定子漏阻抗(stator leakage impedance)。

氣隙交互磁通量會感應出滑差頻率旋轉之轉子電動勢,以及同步頻率之定子電動勢。 定子漏阻抗所造成的電壓降(voltage drop)會使每相的氣隙電動勢(air gap emf) Es 及交互磁通量隨著負載的增加而減小。如果鐵心損耗(core losses)與飽和效應忽略不計, 則磁化電流(magnetizing current) Im與負載電流分量(load current component) Ir 構成定子總電流 Is

無關轉子的繞線方式,在推求轉子的等效電路時,交流感應電動機之轉子結構均以一與定子繞線同圈數、 同分佈的轉子繞線所取代,且轉子繞線的各相間為短路。當轉子固定不動時,等效轉子繞線的感應電動勢等於定子電動勢 Es ,且以同步頻率旋轉。若轉子旋轉與同步頻率間形成滑差頻率及滑差比例 S, 則轉子電動勢(rotor emf) Er 會等於滑差比例與定子電動勢的乘積 S Es 。而轉子的電氣轉速亦會等於滑差比例乘以同步頻率 ωr = S ωsl。在轉子固定不動時, 以 Rr 代表每相轉子的等效電阻, Xrl 則為等效轉子漏電抗,則轉子電流可以下式表示

所以

圖2-2為交流感應電動機等效電路推衍的相關圖示。圖2-2(a)是其中一相的定子繞線等效電路。 除了定子電阻 Rs 及定子漏電抗 Xsl 之外, 鐵損電阻(core-loss resistor) Rc, 與磁化電抗(magnetizing reactauce) Xm 構成定子線圈中的磁化阻抗 (magnetizing impedance)。而來自轉子線圈的效應則以適當 電動勢的形態出現在a-b兩端。根據(2-4)式可得到如圖2-2(b)的轉子繞線等效電路。 滑差頻率旋轉之感應電動勢 Er , 作用在轉子等效阻抗 Rr + j Xrl而產生轉子的滑差頻率電流 Ir 。如將(2-4)式右邊分式上下均除以滑差比例值 S, 則得到(2-5)式,相對的等效電路見圖2-2(c)。如將式中會隨滑差而改變的電阻以一固定轉子線圈電阻 Rr 與一可變電阻 Rm 表示則

其中 Rm 可視為機械軸心負載(mechanical shaft load) 所反應的等效電阻, 見圖2-2(d)。一般而言,由於定子線圈與轉子線圈的圈數分佈不儘相同, 所以圖2-2(d)中的端點 a'-b' 不能直接與定子等效電路中 a-b 端連接。 圖2-2(e)中將轉子等效電路中各參數標以加撇符號(prime notation), 即表示是以定子線圈為參考(stator-referred)所得修正後的轉子參數數值。但為求書寫的簡化且不至引起混淆的考量下, 加撇符號只在圖2-2出現,之後文中的轉子參數將不再加撇符號,但所代表者仍是參考定子線圈的數值。 將端點 a-b 互相連接則得到如圖2-2(f)所示之完整感應電動機等效電路。 或者以 Es 近似 Vs ,並重新組合電阻與電抗值, 而得到圖2-2(g)所示之近似等效電路。

2.4 交流電動機的動態數學模式

在兼顧精確的描述交流感應電動機的動態特性與數學模式不致於過度複雜的情形下, 採用了根據"廣義電動機理論"(generalized machine theory)所發展的二軸理論分析並推導感應電動機之動態數學模式[5]。 根據二軸理論,交流感應電動機定子與轉子之間隨位置而變的耦合係數,可採用旋轉參考座標系法則將其去耦合, 而得到定值的係數與獨立的控制變數,電動機之變數如電壓、電流、磁通量等,均可表為兩個互相垂直的分量, 分別稱之為d-軸(direct axis)與q-軸(quadrature axis)。

為了能正確使用二軸理論來建立感應電動機的數學模式,必須做下列的基本假設: 以下既為分別以向量表示法與矩陣表示法來建立三相感應電動機的數學模式。

(A) 向量表示法

以複數空間向量描述電動機各變數,以定子電流向量為例

由於各相電流和應為零

所以

以as軸做為複數平面的實數軸,並以靜止參考二軸座標系中qs軸與之重合,則得到如圖2-3的電流向量合成與分解。 進一步推導定子與轉子交連磁通量(linkage flux)及電壓的關係式,而得到交流感應電動機在靜止參考座標系的數學模式,如下:

圖 2-3 複數空間定子電流向量

其中 LsLrLm 分別為定子、轉子及交互電感, ωr 為轉子旋轉角頻率, θr 為轉子角度,Te 為產生之扭矩, TL 為負載扭矩,而JB則表示轉軸的旋轉慣量及摩擦係數。

定義一虛擬變數─磁化電流向量(magnetizing current vector)來取代轉子電流向量並表示轉子磁通向量:

其中

而轉子磁通量就等於

若以轉子磁通向量或是磁化電流向量定義一旋轉座標系,則可得到一個同步旋轉二軸參考座標系, 其中d-軸與磁化電流向量重合並與之同步旋轉,q-軸則與之垂直。在同步於轉參考座標系中的交流感應電動機數學模式如下:

其中 ids 為定子電流在d-軸上的分量,代表磁場電流分量(field current couponent), iqs 則為定子電流在q-軸上的分量,代表扭矩電流分量(torque current component)。

(B) 矩陣表示法

交流感應電動機之d-q模式因為參考座標系的不同而有不同之表示法,如採用同步旋轉參考座標系,則當系統處於穩態時, 交流量會轉換為直流量。感應電動機之數學模式以同步旋轉座標系為參考座標系,可表示為下列矩陣方程式:

其中

或是改寫為下列的型式:

其中 p = d / dt 是微分符號。對鼠籠式感應電動機而言,因為轉子線圈短路, 所以 vdr = vqr = 0 。對三相 P 極的交流感應電動機, 其產生之扭矩則為

電動機與負載的動態方程式為

2.5 交流電動機參數判別項目

依據對交流感應電動機的分析,與其等效電路與數學模式,可整理出與感應電動機特性相關的參數如下, 做為電動機參數利別與自動量測之項目。
(a) 定子電阻( Rs )
(b) 定子漏電抗( Xsl )
(c) 定子電感( Ls )
(d) 轉子電阻( Rr )
(e) 轉子漏電抗( Xrl )
(f) 轉子電感( Lr )
(g) 交互電感( Lm )
(h) 轉子電時間常數( τr = Lr / Rr )
(i) 轉軸慣量( J )
(j) 轉動阻泥係數( B )

國際電機電子工程師學會(IEEE)測試標準

國際電機電子工程師學會針對感應電動機與發電機製定下一測試標準名為〝多相感應電動機與發電機標準測試程序〞 (IEEE Standard Test Procedure for Polyphase Induction Motors and Generators, IEEE Std 112-1984)[32]。 係包含一序列測試項目以提供決定多項感應電機的性能與特性之依據。其中許多測試項目並不在本研究計畫之範圍, 僅列出其所含大項為參考之用。


[
目錄] [上一章] [下一章] [回主頁]