直流電動機的工作原理與特性

課程講義 CN-07

內 容: 1. 發展歷史  2. 電動機分析基本原理  3. 直流電動機基本原理  4. 扭矩方程式
5. 多象限扭矩轉速操作    參考文獻 

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鄒應嶼 博士

交通大學 控制工程系所

中華民國85年11月2日


版面製作:王倩瑤    更新日期:1996/11/2

1 發展歷史

直流馬達(direct current, DC motor)可以說是最早發明能將電力轉換為機械功率的電動機,它可追溯到Michael Faraday所發明的碟型馬達。法拉第(Faraday)的原始設計其後經由迅速的改良,到了1880年代已成為主要的電力機械能轉換裝置,但之後由於交流電的發展,而發明了感應馬達與同步馬達,直流馬達的重要性亦隨之降低。直到約1960年,由於SCR的發明、磁鐵材料、碳刷、絕緣材料的改良,以及變速控制的需求日益增加,再加上工業自動化的發展,直流馬達驅動系統再次得到了發展的契機,到了1980年直流伺服驅動系統成為自動化工業與精密加工的關鍵技術。

2 電動機分析基本原理

扭矩與功率

電動機之主要功能即在於能夠在電能(electrical power)與機械能(mechanical power)之間藉由電磁轉換而進行能量轉換,馬達將電能轉換為機械能,而發電機則將機械能轉換為電能,要瞭解電動機的工作原理首先要瞭解扭矩與功率。

將力施於一可旋轉之連桿,則此連桿將會旋轉,扭矩即為造成此一旋轉運動之力,定義為:

(2.1)

其中F為施力之大小,單位為牛頓(Newton),g 為與此施力垂直之旋轉半徑長度,單位為米(m),此定義可參考圖2.1

在旋轉運動中所定義之功(work)為一扭矩施於一轉軸使其旋轉q角,定義為:

(2.2)

功率(power)則為單位時間內功的變化,定義為

(2.3)

如果扭矩固定不變,則

2.1 扭矩(torque)、功(work)與功率(power)

牛頓定律(Newton's Law)

2.1 牛頓定律

磁場之產生

在變壓器、馬達與發電機的運作過程中,能量常由一種型式轉換為另一種型式,這種轉換過程的基本機制即在於電磁場(electro-mechanical field)。因此要瞭解電動機的工作原理即要明瞭磁場產生的方式,磁場的產生可歸納為下列幾種方式: 一根載有電流的導體會在其週圍將形成磁場 磁鐵會在其週圍形成磁場

電場的變化在適當的情況下將造成感應的磁場,反之亦然,因而在電磁的交互作用中達到能量轉換的目的。一個變化的磁場在其切割的線圈上將產生感應電壓,這是變壓器的基本工作原理。一根載有電流的導線如置於磁場中,則將感應一力施於其上,這是馬達運轉的基本原理。一根在磁場中移動的導線則將在導線上產生感應電壓,這是發電機運轉的基本原理。因此藉由電場與磁場的交互作用,電能與機械能可以互相轉換,以下將說明其相關的物理定律。

2.2 一個線圈環繞的鐵心

安培定律

(2.4)

載有電流的導線會在其周圍形成磁場,其關係即為(2.4)所示的安培定律,其中H為由淨電流Inet所造成的磁場強度(magneticfieldintensity),單位為ampere-turns/meter。我們可以圖2.2一個繞有線圈的方形鐵心為例來說明安培定律,此鐵心由導磁性材料(ferromagnetic material)所構成,假設線圈電流所造成的磁場(磁力線)均留在鐵心之內,則安培定律內之路徑迴旋積分即為環狀鐵心的平均長度Ic,通過磁場積分迴路之淨電流InetN ·i,則由安培定律可知

(2.5)

其中H為磁場強度向量H的大小,由此可計算出H

(2.6)

由上式可知磁場強度與線圈電流與圈數成正比,但與磁路的長度成反比,因此鐵心愈大,其平均磁路長度愈大,則磁場強度就愈小。磁場強度H可視為造成磁場的原動力,在鐵心內磁力線的多寡也就是磁通量(magnetic field flux),則與鐵心的材料有關,磁通量的大小可以磁通密度B(magnetic flux density)表示,其與磁場強度之關係為

(2.7)

其中 H = 磁場強度(magnetic field intensity) (Ampere-turns/meter)

B 磁通密度(magnetic flux density) (Webers/m2, tesla)

m 導磁率(magnetic permeability of material) (Henrys/meter)

m 稱之為導磁性材料的導磁率(permeability)。真空的導磁率定義為mo其值為

(2.8)

其他的物質相對於真空的導磁率稱之為相對導磁率(relative permeability)定義為

(2.9)

相對導磁率可用來評估一種導磁材料其磁化容易的成度,例如鋼(steel)常用於馬達的製造,其相對導磁率約介於2000∼6000之間,這表示同樣的電流,如果採用矽鋼片作為鐵心則較空心的線圈能產2000∼6000倍的磁通量,空氣的導磁率與真空幾乎是相同的。由此可知在變壓器或馬達鐵心的材料,對其特性扮演了關鍵性的角色。

由於鐵心的導磁率相當高,因此在圖2.2中的磁力線絕大部份均在鐵心之內,祗有極小部份的漏磁通(leakage flux)流失於週圍的空氣中。這一小部份的漏磁通在決定變壓器與馬達的磁通交鏈(flux linkage)與自電感(self inductance)時卻是非常重要的。

如圖2.2所示之鐵心,其內部之磁通密度B

(2.10)

在一指定面積內的磁量則可計算為

(2.11)

其中為單位面積微分量,如果磁通密度向量B與平面A垂直,且流過此平面的磁通密度是均勻的,則上式可簡化為

由此可知在圖2.2中鐵心的總磁通量為

(2.12)

其中A為鐵心的截面積。

磁電路(Magnetic Circuit)

在電路中由電動勢(electromotive force, emf)在一環形電路中經由電阻形成電流,由歐姆定律可知

(2.13)

同理,為了便於分析,也可定義磁動勢(magnetomotive force, mmf)

(2.14)

在環形磁路中經由磁阻(magnetic reluctance)形成磁通(flux),其關係為

(2.15)

等效電路如圖2.3(b)所示,磁動勢的極性可由右手定則決定如圖2.4所示。在磁路中的磁阻其特性就有如電路中的電阻。由(2.12)與(2.15)可知:

(2.16)

2.3 (a)電路(electric circuit) (b)磁路(magnetic circuit)

2.4 決定磁動勢(mmf)在磁路中之極性

3 直流電動機基本原理

3.1 直流馬達的分解圖

3.2 直流馬達的基本工作原理說明 (a)直流馬達的剖面圖包含定子磁鐵、轉子線圈、 換向器(commutator)與碳刷(carbon brush)(b)氣隙磁通 (air-gap flux)密度的 圓周空間分佈圖 (c)碳刷間之電壓

3.3 實際量測得到的直流馬達氣隙磁密度分佈圖

3.4 永磁式直流馬達的扭矩轉速曲線

3.5 磁場線圈不同繞線式直流馬達扭矩轉速曲線的比較

3.6 並激式與永磁式直流馬達的比較

4 扭矩方程式

馬達通常藉由傳動系統而帶動所連接之負載,因此馬達本身雖多以旋轉的方式運動,但其負載則有可能旋轉或平移或以其他方式運動,有時負載不祗一個,其運動速度也不一定相同。在運動控制(motion control)中主要之驅動裝置即為馬達,而除了線性馬達(linear motor)以外,馬達均以旋轉的方式運動。在高性能運動控制系統中,掌握其運動輪廓(motion profile)是相當重要的,要達到良好的速度與位置控制,其關鍵即在掌握馬達與負載的扭矩方程式。為了說明馬達與負載的扭矩方程式,首先定義下列符號:

J 達與負載反映在馬達軸心上的旋轉慣量(Kg ·m2)

wm 馬達軸心的旋轉角速度(rad/sec)

T =馬達軸心所產生之扭矩(N ·m)

TL 負載反映在馬達軸心上之扭矩(N ·m)

任何一個馬達-負載驅動系統(如圖4.1所示)均可以下列之基本扭矩方程式描述

(4.1)

上式說明在任何一個時刻,馬達所產生之扭矩T均會由負載扭矩TL與動態扭矩 Jdwm /dt所平衡,Jdwm /dt稱之為動態扭矩主要是因為在穩態時wm為零,此項將消失,因此其僅出現在暫態響應。馬達是否加速或減速則決定於是否T大於或小於TL。在加速期間,馬達不僅需要提供負載扭矩,也要提供負載慣量所需要的加速動態扭矩Jdwm /dt。在負載慣量很大的應用場合,如火車或拖拉車,馬達必須提供遠大於負載扭矩的加速動態扭矩,才足以使系統加速。同樣的,在需要快速反應的應用場合,因為需要高加速度,馬達提供的加速扭矩不但要大,負載的旋轉慣量也必須小,才能產生高的加速度。當馬達的轉速增加時,其動能1/2 Jwm2 亦隨之增加,因此馬達不僅須提供負載所需之能量,亦須提供增加速度所需之動能。在減速時,動態扭矩 Jdwm /dt會變號,因此會協助馬達扭矩T在減速運動中抽出儲存於動能中之能量,這部份的能量如能妥善運用,則可藉由再生電路(regeneration circuit)此部份之機械能轉換為電能回饋至供電系統。

4.1 馬達負載的等效結構圖與扭矩方程式

在某些應用中,在一段短的時間內,負載扭矩會超過馬達所能提供的最大扭矩,則馬達會減速,此時動態扭矩會協助馬達扭矩保持原有之運動。在某些應用中如沖床,在很短的時間內負載需要很大的扭矩,但大部份的時間則幾乎是無載,則可利用動態扭矩的特性選擇一個較小額定值的馬達。其原理是加裝一個飛輪以增加旋轉慣量,利用低載的時間,慢慢加速將能量儲存於飛輪,在減速時,其動態扭矩將與馬達扭矩相結合而產生負載所需要的高額扭矩,利用這種方式,可選用較小的馬達而達到同樣的目的。

4.1 負載扭矩的組成

馬達-負載驅動系統裡的負載扭矩(load torque)是決定扭矩方程式中的重要因子,負載扭矩通常是非線性的,它由下列幾個分量所構成:
  1. 磨擦扭矩 TF:磨擦不僅出現在馬達本身,更會由傳動系統及負載所造成,TF即為總磨擦反映在馬達軸心上的磨擦扭矩,磨擦扭矩通常是非線性的且與轉速有關,其關係如圖4.2所示。
  2. 風阻扭矩(windage torque)TW:當馬達旋轉時,風會造成阻力,其相當之扭矩稱之為風阻扭矩。
  3. 機械扭矩TM:能產生有用的機械功的扭矩稱之為機械扭矩,這部份扭矩是真正為負載所用的扭矩,其性質將根據負載之特性而有所不同。

在負載扭矩的組成中,磨擦扭矩是非線性也最為多變的,其與轉速的關係如圖4.2(a)所示,靜磨擦遠大於低轉速時之旋轉磨擦,磨擦扭矩可分解為如圖4.2(b)所示的三個分量,其中TV與轉速成正比之線性關係,稱之為黏滯磨擦(viscous friction)其與轉速之關係為

(4.2)

其中B稱之為潻滯磨擦係數。圖4.2(b)中的TC與轉速無關,稱之為庫侖磨擦(coulomb friction)TS為靜磨擦,祗有在靜止時才存在,因此在分析時可不予考慮。

4.2 負載扭矩的成份與磨擦扭矩的成份

風阻扭矩TW與轉速的平方成正比,可表示為

(4.3)

其中C為風阻磨擦係數。由上述之分析可知,負載扭矩可表示為

(4.4)

在大部份的應用中,遠小於BwmTM,因此常忽略不計,在這樣的情況下,扭矩方程式(4.1)可簡化為

(4.5)

在馬達-負載驅動系統的應用中,瞭解負載的扭矩-轉速曲線是相當重要的,這不僅關係到傳動機構的設計,也與馬達的控制方式有關,圖4.3為一些不同應用的負載扭矩的扭矩─轉速曲線圖。

4.3 負載扭矩需求的一些實例

4.2 負載扭矩的分類

不同的負載扭矩根據其特性可分為兩大類: 主動負載扭矩(active load torque) 被動負載扭矩(passive load torque)

5 多象限扭矩轉速操作

基本上所有的電機機械(electrical machines)均操作於兩種操作模式:轉動(motoring)或剎車(braking)。 圖5.1所示為馬達與驅動器在多象限操作的習慣表示法。在電機機械,扭矩常表示為轉速的函數, 因此轉速視為獨立變數,而扭矩-轉速平面,X-軸為轉速,而Y-軸為扭矩。但在驅動器,則因扭矩是需求, 因此轉速為扭矩的函數,所以將扭矩視為獨立變數為X-軸,而轉速則為相依變數為Y-軸。 由圖5.1可看出馬達與驅動器均有四個工作象限:

正向轉動(forward motoring)
正向剎車(forward braking)
反向轉動(reverse motoring)
反向剎車(reverse braking)

5.1 馬達與驅動器多象限操作的習慣表示法

馬達剎車

當馬達工作於轉動模式時,電能經由馬達轉換為動能,但當馬達工作於剎車模式時,動能則未必能經由馬達轉換為可在利用的電能,馬達的剎車方式如表5.1所示可分為機械式與電氣式兩種主要方法,馬達的剎車控制在伺服系統設計時,尤其是功率轉換器的設計是相當重要的考慮因素。

5.1 馬達剎車方式之分類

穩態平衡工作點

根據馬達-負載的扭矩方程式可知,在平衡狀態時,也就是等速時,馬達扭矩必等於負載扭矩。馬達-負載驅動系統要能夠穩定的保持在一個平衡的工作點,就是指在小的負載擾動下仍能回復到原有的工作點。平衡工作點的穩定性,可由穩態穩定度分析(steady-state stability analysis)方法來分析馬達─負載驅動系統的穩態轉速-扭矩曲線。以下從小信號擾動理論(small signal perturbation theory)的觀點來探討工作點的穩定性。

假設有一平衡工作點,此時馬達扭矩、負載扭矩、與轉速分別定為TeTLewme,則根據扭矩方程式必須符合下列條件:

(5.1)

任何一個在電源、馬達、負載或驅動器的干擾,都會造成馬達扭矩、負載扭矩與轉速的波動,假設此波動定為DTDTL Dwm,則此時的馬達扭矩、負載扭矩與轉速將分別為(Te + DT)(TLe + DTL)(wme + Dwm)。由扭矩方程式(5.1)可知

(5.2)

將(5.1)之平衡狀況代入可得

(5.3)

此微分方程式說明了在平衡點附近小擾動干擾下的扭矩轉速關係。假設此擾動很小,則在此平衡點附近的馬達與負載的扭矩─轉速曲線均可以直線近似,因此

(5.4)

其中dT / dwmdTL / dwm分別是馬達與負載的扭矩─轉速曲線在平衡點(TLe ,wme)的斜率。將(5.4)代入(5.3)則可得

(5.5)

此為一階線性微分方程式,如果在 t = 0 時之速度偏離為(Dwm),則(5.5)之解為

(5.6)

t 趨於無限大時,Dwm趨於零,就表示此點為穩定的平衡點,要滿足這個條件就必須

(5.7)

由上式可知,當速度因擾動而增加時,負載扭矩必須超過馬達扭矩而使其減速,如此方能回到原有之工作點,反之如果速度因擾動而降低,則馬達產生的扭矩必須大於負載扭矩使其加速,因而回到原來之工作點。根據上述之數學分析與物理詮釋,可觀察圖5.2中各工作點的穩定性,其中實線為馬達的扭矩─轉速曲線,虛線則分別為負載扭矩TL1TL2的扭矩-轉速曲線。首先觀察A點,當轉速增加時,負載扭矩大於馬達扭矩,因此減速,反之速度降低時,馬達扭矩大於負載扭矩,因此加速,所以A點為穩定的平衡點。在B點,當速度增加時,馬達扭矩大於負載扭矩,因此加速,如此將更為偏離原工作點而造成惡性循環,所以B點是一個不穩定的工作點,馬達─負載無法在此一工作點穩定的操作。其次再看負載扭矩轉速曲線TL2T之交點C,當速度增加時,負載扭矩大於馬達扭矩,因此減速,反之當速度降低時,馬達扭矩大於負載扭矩,因此加速,所以在此兩種狀況,系統均有回復到原來工作點的趨勢,因此C點為一穩定的平衡點。由圖5.2中可看出,B點與C點均在馬達扭矩─轉速曲線的同一區域,但C點穩定而B點不穩定。由此可知一個工作點是否穩定不單由馬達或負載所決定,而是由兩者共同決定,這在觀念上是非常重要的。

5.2 扭矩轉速曲線下的穩態穩定平衡點

速度控制與多象限操作

馬達驅動器通常根據其不同應用的操作情況而分類為: 定速驅動器 (Constant speed drive) 多速驅動器 (Multi - speed drive) 變速驅動器 (Variable speed drive) 多馬達驅動器 (Multi - motor drive) 定功率驅動器 (Constant power drive) 定扭矩驅動器 (Constant torque drive)

馬達的四個工作象限如圖5.3所示,在不同的工作象限有其在扭矩與轉速上不同的需求。

5.3 多象限扭矩-轉速曲線在不同之轉速設定與負載特性

在馬達驅動器的設計過程,關鍵在於馬達扭矩的控制使其符合負載需求,而達到設定的轉速,因此目的主要在於轉速控制,良好的轉速控制,就可進一步達到位置控制。高性能的馬達轉速控制有三項基本要求:
  1. 快速響應 (fast response)
  2. 高精度 (high speed accuracy)
  3. 高調節率 (high speed regulation)

馬達控制的速度調節率(speed regulation)定義為

如果開路控制無法達到期望的速度調節,就必須採取閉路控制方式。驅動系統的速控範圍,通常根據應用的需要而定,在某些應用,速控範圍可從基速(base speed)到其10%之低速,在伺服系統的應用中,速控比(最高可控轉速/最低可控轉速)則可高達1000:1。

從控制的觀點而言,驅動系統的轉速與扭矩均可視為狀態變數(state variable),因此馬達驅動器的扭矩─轉速平面即可視為狀態變數的相平面(phase plane),而轉速的變化也就相當於從起始工作點(initial operating point)轉移到另一終點工作點(final operating point),其在相平面的軌跡就是在變速過程中轉速與扭矩的暫態響應。馬達驅動器在變速的操作中,有三個主要的工作模式(mode):
  1. 減速
  2. 反轉
  3. 加速

5.4以四象限工作區說明在這三種模式下的扭矩-轉速變化軌跡。圖5.4(a)為減速時由工作點S1移至工作點S2之扭矩轉速軌跡,由圖中可看出首先以最大反向扭矩減速,但此時轉速仍為wm1,因此移至A點,其次由於受到最大輸出功率的限制,因此延著雙曲線滑至B點,而後順著最大輸出扭矩滑至C點,此時已減速至期望轉速wm2,而後扭矩再減至符合負載之扭矩,因此由C點移至S2完成了變速過程。圖5.4(b)為反轉圖5.4(c)則為加速時的扭矩轉速軌跡。由上述之說明應可瞭解,馬達驅動器要有快速的動態響應,那麼在變速過程中,就必須以最大的加減速扭矩運轉,同時又會受到最大輸出功率、轉速與扭矩的限制,因此其運動軌跡是非線性的。變速過程中的扭矩轉速軌跡也會受到所能允許工作象限的限制,圖5.5為單象限的減速扭矩轉速軌跡,由圖中可看出其減速扭矩祗能為零,因此轉速由wm1降至wm2祗藉著驅動系統本身的磨擦力,其反應的緩慢也就可預期,因此在高性能的伺服驅動器都必然是具備四象限工作能力的。

5.4 象限工作區的速度變化扭矩-轉速曲線圖 (a)減速 (b)反轉 (c)加速

5.5 單象限減速之扭矩轉速軌跡

5.6 不同馬達-負載扭矩轉速曲線的工作點

6 參考文獻

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